Квадра́тное уравне́ние — алгебраическое уравнение общего вида

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,}$

где ${\displaystyle x}$ — неизвестное, ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ — коэффициенты, причём ${\displaystyle \quad a\neq 0.}$

Выражение ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$ называют квадратным трёхчленом^[1].

Корень — это значение переменной ${\displaystyle x}$, обращающее квадратный трёхчлен в ноль, а квадратное уравнение в верное числовое равенство.

Элементы квадратного уравнения имеют собственные названия^[1]:

• ${\displaystyle a}$ называют первым или старшим коэффициентом,
• ${\displaystyle b}$ называют вторым, средним или коэффициентом при ${\displaystyle x}$,
• ${\displaystyle c}$ называют свободным членом.

Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице^[1]. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент ${\displaystyle a}$:

${\displaystyle x^{2}+px+q=0,\quad p={\frac {b}{a}},\quad q={\frac {c}{a}}.}$

Полным называют такое квадратное уравнение, все коэффициенты которого отличны от нуля.

Неполным называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов, кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член), равен нулю.

Исторические сведения о квадратных уравнениях

Древний Вавилон

Уже во втором тысячелетии до нашей эры вавилоняне знали, как решать квадратные уравнения^[1]. Решение их в Древнем Вавилоне было тесно связано с практическими задачами, в основном такими, как измерение площади земельных участков, земельные работы, связанные с военными нуждами; наличие этих познаний также обусловлено развитием математики и астрономии вообще. Были известны способы решения как полных, так и неполных квадратных уравнений. Приведём примеры квадратных уравнений, решавшихся в Древнем Вавилоне, используя современную алгебраическую запись:

${\displaystyle x^{2}+x={\frac {3}{4}};\ x^{2}-x=14{\frac {1}{2}}.}$

Правила решения квадратных уравнений во многом аналогичны современным, однако в вавилонских текстах не зафиксированы рассуждения, путём которых эти правила были получены.

Индия

Задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений, встречаются в трактате по астрономии «Ариабхаттиам», написанным индийским астрономом и математиком Ариабхатой в 499 году нашей эры. Один из первых известных выводов формулы корней квадратного уравнения принадлежит индийскому учёному Брахмагупте (около 598 г.)^[1]; Брахмагупта изложил универсальное правило решения квадратного уравнения, приведённого к каноническому виду: ${\displaystyle ax^{2}+bx=c}$; притом предполагалось, что в нём все коэффициенты, кроме ${\displaystyle a,}$ могут быть отрицательными. Сформулированное учёным правило по своему существу совпадает с современным.

Корни квадратного уравнения на множестве действительных чисел

I способ. Общая формула для вычисления корней

Для нахождения корней квадратного уравнения ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ в общем случае следует пользоваться приводимым ниже алгоритмом:

Изложенный метод универсален, однако он далеко не единственный. К решению одного уравнения можно подойти различными способами, предпочтения обычно зависят от самого решающего. Кроме того, часто для этого некоторый из способов оказывается значительно более элегантным, простым, менее трудоёмким, чем стандартный.

II способ. Корни квадратного уравнения при чётном коэффициенте b

Для уравнений вида ${\displaystyle ax^{2}+2kx+c=0}$, то есть при чётном ${\displaystyle b}$, где

${\displaystyle k={\frac {1}{2}}b,}$

вместо формулы (1) для нахождения корней можно использовать более простые выражения^[1].

Примечание: данные ниже формулы можно получить, подставив в стандартные формулы выражение b=2k и совершив при этом несложные преобразования.

III способ. Решение неполных квадратных уравнений

К решению неполных квадратных уравнений следует подходить по-особому. Рассмотрим три возможных ситуации.

IV способ. Использование частных соотношений коэффициентов

Существуют частные случаи квадратных уравнений, в которых коэффициенты находятся в соотношениях между собой, позволяющих решать их гораздо проще.

Корни квадратного уравнения, в котором сумма старшего коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту

Если в квадратном уравнении ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ сумма первого коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту: ${\displaystyle a+c=b}$, то его корнями являются ${\displaystyle -1}$ и число, противоположное отношению свободного члена к старшему коэффициенту (${\displaystyle -{\frac {c}{a}}}$).

Отсюда, прежде, чем решать какое-либо квадратное уравнение, следует проверить возможность применения к нему этой теоремы: сравнить сумму старшего коэффициента и свободного члена со вторым коэффициентом.

Корни квадратного уравнения, сумма всех коэффициентов которого равна нулю

Если в квадратном уравнении сумма всех его коэффициентов равна нулю (${\displaystyle a+b+c=0}$), то корнями такого уравнения являются ${\displaystyle 1}$ и отношение свободного члена к старшему коэффициенту (${\displaystyle {\frac {c}{a}}}$).

Отсюда, прежде, чем решать уравнение стандартными методами, следует проверить применимость к нему этой теоремы: сложить все коэффициенты данного уравнения и посмотреть, не равна ли нулю эта сумма.

V способ. Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители

Если трёхчлен вида ${\displaystyle ax^{2}+bx+c(a\not =0)}$ удастся каким-либо образом представить в качестве произведения линейных множителей ${\displaystyle (kx+m)(lx+n)=0}$, то можно найти корни уравнения ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ — ими будут ${\displaystyle -{\frac {m}{k}}}$ и ${\displaystyle -{\frac {n}{l}}}$, действительно, ведь ${\displaystyle (kx+m)(lx+n)=0\Longleftrightarrow kx+m=0\cup lx+n=0}$, а решив указанные линейные уравнения, получим вышеописанное. Отметим, что квадратный трёхчлен не всегда раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами: это возможно, если соответствующее ему уравнение имеет действительные корни.

Рассмотрим некоторые частные случаи.

Использование формулы квадрата суммы (разности)

Если квадратный трёхчлен имеет вид ${\displaystyle (ax)^{2}+2abx+b^{2}}$, то применив к нему названную формулу, мы сможем разложить его на линейные множители и, значит, найти корни:

${\displaystyle (ax)^{2}+2abx+b^{2}=(ax+b)^{2};}$

${\displaystyle (ax+b)^{2}=0;}$

${\displaystyle x=-{\frac {b}{a}}.}$

Выделение полного квадрата суммы (разности)

Также названную формулу применяют, пользуясь методом, получившим названия «выделение полного квадрата суммы (разности)». Применительно к приведённому квадратному уравнению с введёнными ранее обозначениями, это означает следующее:

1. прибавляют и отнимают одно и то же число
   ${\displaystyle x^{2}+px+({\frac {p}{2}})^{2}-({\frac {p}{2}})^{2}+q=0;}$.
2. применяют формулу к полученному выражению, переносят вычитаемое и свободный член в правую часть
   ${\displaystyle (x^{2}+2{\frac {p}{2}}x+({\frac {p}{2}})^{2})+(-({\frac {p}{2}})^{2}+q)=0;}$
   ${\displaystyle (x+{\frac {p}{2}})^{2}={\frac {p^{2}}{4}}-q;}$
3. извлекают из левой и правой частей уравнения квадратный корень и выражают переменную
   ${\displaystyle x+{\frac {p}{2}}=\pm {\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}};}$
   ${\displaystyle x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}}.}$

Примечание: если вы заметили, данная формула совпадает с предлагаемой в разделе «Корни приведённого квадратного уравнения», которую, в свою очередь, можно получить из общей формулы (1) путём подстановки равенства a=1. Этот факт не просто совпадение: описанным методом, произведя, правда некоторые дополнительные рассуждения, можно вывести и общую формулу, а также доказать свойства дискриминанта.

VI способ. Использование прямой и обратной теоремы Виета

Прямая теорема Виета (см. ниже в одноимённом разделе) и обратная ей теорема позволяют решать приведённые квадратные уравнения устно, не прибегая к достаточно громоздким вычислениям по формуле (1).

Согласно обратной теореме, всякая пара чисел (число) ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$, будучи решением нижеприведённой системы уравнений, являются корнями уравнения ${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$:

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-p;\\x_{1}x_{2}=q;\end{cases}}}$

Подобрать устно числа, удовлетворяющие этим уравнениям, поможет прямая теорема. С её помощью можно определить знаки корней, не зная сами корни. Для этого следует руководствоваться правилом:

1) если свободный член отрицателен, то корни имеют различный знак, и наибольший по модулю из корней — знак, противоположный знаку второго коэффициента уравнения;

2) если свободный член положителен, то оба корня обладают одинаковым знаком, и это — знак, противоположный знаку второго коэффициента.

VII способ. Метод «переброски»

Так называемый метод «переброски» позволяет сводить решение неприведённых и непреобразуемых к виду приведённых с целыми коэффициентами путём их деления на старший коэффициент уравнений к решению приведённых с целыми коэффициентами. Он заключается в следующем:

1) умножаем обе части на выражение:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0|\cdot a}$

${\displaystyle (ax)^{2}+b(ax)+ac=0}$

2) вводим новую переменную y=ax:

${\displaystyle y^{2}+by+ac}$.

Далее уравнение решают устно описанным выше способом, затем возвращаются к исходной переменной и находят корни уравнений ${\displaystyle y_{1}=ax_{1}}$ и ${\displaystyle y_{2}=ax_{2}}$.

Геометрический смысл

Графиком квадратичной функции является парабола. Решениями (корнями) квадратного уравнения называют абсциссы точек пересечения параболы с осью абсцисс. Если парабола, описываемая квадратичной функцией, не пересекается с осью абсцисс, уравнение не имеет вещественных корней. Если парабола пересекается с осью абсцисс в одной точке (в вершине параболы), уравнение имеет один вещественный корень (также говорят, что уравнение имеет два совпадающих корня). Если парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, уравнение имеет два вещественных корня (см. изображение справа.)

Если коэффициент ${\displaystyle a}$ положительный, ветви параболы направлены вверх и наоборот. Если коэффициент ${\displaystyle b}$ положительный (при положительном ${\displaystyle a}$, при отрицательном наоборот), то вершина параболы лежит в левой полуплоскости и наоборот.

Графический способ решения квадратных уравнений

Помимо универсального способа, описанного выше, существует так называемый графический способ. В общем виде этот способ решения рационального уравнения вида ${\displaystyle f(x)=g(x)}$ заключается в следующем: в одной системе координат строят графики функций ${\displaystyle y=f(x)}$ и ${\displaystyle y=g(x)}$ и находят абсциссы общих точек этих графиков; найденные числа и будут корнями уравнения.

Есть всего пять основных способов графического решения квадратных уравнений.

Способ I

Для решения квадратного уравнения ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ этим способом строится график функции ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ и отыскивается абсциссы точек пересечения такого графика с осью ${\displaystyle x}$.

Способ II

Для решения того же уравнения этим способом его преобразуют к виду ${\displaystyle ax^{2}=-bx-c}$ и строят в одной системе координат графики квадратичной функции ${\displaystyle y=ax^{2}}$ и линейной функции ${\displaystyle y=-bx-c}$, затем находят абсциссу точек их пересечения.

Способ III

Решение этим методом подразумевает преобразование исходного уравнения к виду ${\displaystyle a(x+l)^{2}+m=0}$, используя метод выделения полного квадрата суммы (разности) и затем в ${\displaystyle a(x+l)^{2}=-m}$. После этого строятся график функции ${\displaystyle y=a(x+l)^{2}}$ (им является график функции ${\displaystyle y=ax^{2}}$, смещённый на ${\displaystyle |l|}$ единиц масштаба в право или влево в зависимости от знака) и прямую ${\displaystyle y=-m}$, параллельную оси абсцисс. Корнями уравнения будут абсциссы точек пересечения параболы и прямой.

Способ IV

Квадратное уравнение преобразуют к виду ${\displaystyle ax^{2}+c=-bx}$, строят график функции ${\displaystyle y=ax^{2}+c}$ (им является график функции ${\displaystyle y=ax^{2}}$, смещённый на ${\displaystyle c}$ единиц масштаба вверх, если этот коэффициент положителен, либо вниз если он отрицателен), и ${\displaystyle y=-bx}$, находят абсциссы их общих точек.

Способ V

Квадратное уравнение преобразуют к особому виду:

${\displaystyle {\frac {ax^{2}}{x}}+{\frac {bx}{x}}+{\frac {c}{x}}={\frac {0}{x}};}$

${\displaystyle ax+b+{\frac {c}{x}}=0;}$

затем

${\displaystyle ax+b=-{\frac {c}{x}}.}$.

Совершив преобразования, строят графики линейной функции ${\displaystyle y=ax+b}$ и обратной пропорциональности ${\displaystyle y=-{\frac {c}{x}};\ (c\not =0)}$, отыскивают абсциссы точек пересечения этих графиков. Этот метод имеет границу применимости: если ${\displaystyle c=0}$, то метод не используется.

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

Описанные выше методы графического решения имеют существенные недостатки: они достаточно трудоёмки, при этом точность построения кривых — парабол и гипербол — низка. Указанные проблемы не присущи предлагаемому ниже методу, предполагающему относительно более точные построения циркулем и линейкой.

Чтобы произвести такое решение, нужно выполнить нижеследующую последовательность действий.

1. Построить в системе координат Oxy окружность с центром в точке ${\displaystyle S(-{\frac {b}{2a}};{\frac {a+c}{2a}})}$, пересекающую ось y в точке C(0;1).
2. Далее возможны три случая:
   • длина радиуса окружности превышает длину перпендикуляра к оси абсцисс, опущенного из точки S: в этом случае окружность пересекает ось x в двух точках, а уравнение имеет два действительных корня, равных абсциссам этих точек;
   • радиус равен перпендикуляру: одна точка и один вещественный корень кратности 2;
   • радиус меньше перпендикуляра: корней в множестве ${\displaystyle \mathbb {R} }$ нет.

Корни квадратного уравнения на множестве комплексных чисел

Уравнение с действительными коэффициентами

Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами ${\displaystyle a,~b,~c}$ имеет ровно два комплексных корня, о чём гласит основная теорема алгебры. При этом, в зависимости от значения дискриминанта ${\displaystyle D=b^{2}-4ac}$, как один, так и оба корня могут не иметь мнимой части и быть вещественными:

• при ${\displaystyle D>0}$ вещественных корней два, и они вычисляются по формуле

  ${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}};}$

• при ${\displaystyle D=0}$ корень один (о чём так же можно говорить как о двух равных или совпадающих корнях), кратности 2:

  ${\displaystyle x={\frac {-b\pm 0}{2a}}={\frac {-b}{2a}};}$

• при ${\displaystyle D<0}$ вещественных (действительных) корней нет, однако существуют два комплексных корня, выражающиеся той же формулой, что и для положительного дискриминанта. Также её можно переписать, выразив корень из отрицательного числа в виде произведения корня с мнимой единицей:

  ${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm i{\sqrt {|D|}}}{2a}}.}$

Уравнение с комплексными коэффициентами

В комплексном случае квадратное уравнение решается по той же формуле (1) и указанным выше её вариантам, но различимыми являются только два случая: нулевого дискриминанта (один двукратный корень) и ненулевого (два простых корня).

Корни приведённого квадратного уравнения

Квадратное уравнение вида ${\displaystyle x^{2}+px+q=0,}$ в котором старший коэффициент ${\displaystyle a}$ равен единице, называют приведённым. В этом случае формула для корней (1) упрощается до

${\displaystyle x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}.}$

Мнемонические правила:

• Из «Радионяни»:

«Минус» напишем сначала,
Рядом с ним p пополам,
«Плюс-минус» знак радикала,
С детства знакомого нам.
Ну, а под корнем, приятель,
Сводится всё к пустяку:
p пополам и в квадрате
Минус прекрасное^[2] q.

• Из «Радионяни» (другой вариант):

p, со знаком взяв обратным,
На два мы его разделим,
И от корня аккуратно
Знаком «минус-плюс» отделим.
А под корнем очень кстати
Половина p в квадрате
Минус q — и вот решенья,
То есть корни уравненья.

Теорема Виета

Формулировка

Сумма корней приведённого квадратного уравнения ${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$ равна коэффициенту ${\displaystyle p}$ со знаком «минус», а произведение корней равно свободному члену ${\displaystyle q}$

${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-p,\quad x_{1}x_{2}=q.}$

В общем случае, то есть для не приведённого квадратного уравнения ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$:

${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-b/a,\quad x_{1}x_{2}=c/a.}$

Используя эту теорему, можно решать некоторые квадратные уравнения устно.

Разложение квадратного трёхчлена на множители и теоремы, следующие из этого

Если известны оба корня квадратного трёхчлена, его можно разложить по формуле

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})}$ (2)

Доказательство

Для доказательства этого утверждения воспользуемся теоремой Виета. Согласно этой теореме, корни ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ квадратного уравнения ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ образуют соотношения с его коэффициентами: ${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}};\ x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}}$. Подставим эти соотношения в квадратный трёхчлен:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}})=a(x^{2}-(x_{1}+x_{2})x+x_{1}x_{2})=}$

${\displaystyle =a(x^{2}-x_{1}x-x_{2}x+x_{1}x_{2})=a(x(x-x_{1})-x_{2}(x-x_{1}))=a(x-x_{1})(x-x_{2})}$.

В случае нулевого дискриминанта это соотношение становится одним из вариантов формулы квадрата суммы или разности.

Из формулы (2) имеются два важных следствия:

Следствие 1

Если квадратный трёхчлен раскладывается на линейные множители с вещественными коэффициентами, то он имеет корни, принадлежащие тому числовому множеству.

Доказательство

Пусть ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=(kx+m)(nx+l)}$. Тогда, переписав это разложение, получим:

${\displaystyle (kx+m)(nx+l)=k(x+{\frac {m}{k}})n(x+{\frac {l}{n}})=kn(x-(-{\frac {m}{k}}))(x-(-{\frac {l}{n}}))}$.

Сопоставив полученное выражение с формулой (2), находим, что корнями такого трёхчлена являются ${\displaystyle -{\frac {m}{k}}}$ и ${\displaystyle -{\frac {l}{n}}}$. Так как коэффициенты вещественны, то и числа, противоположные их отношениям также являются элементами множества ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Следствие 2

Если квадратный трёхчлен не имеет действительных корней, то он не раскладывается на линейные множители с вещественными коэффициентами.

Доказательство

Действительно, если мы предположим противное (что такой трёхчлен раскладывается на линейные множители), то, согласно следствию 1, он имеет корни в множестве ${\displaystyle \mathbb {R} }$, что противоречит условию, а потому наше предположение неверно, и такой трёхчлен не раскладывается на линейные множители.

Уравнения, сводящиеся к квадратным

Алгебраические

Уравнение вида ${\displaystyle a\cdot f^{2}(x)+b\cdot f(x)+c=0}$ является уравнением, сводящимся к квадратному.

В общем случае оно решается заменой ${\displaystyle f(x)=t,t\in E(f)}$ c последующим решением квадратного уравнения ${\displaystyle a\cdot t^{2}+b\cdot t+c=0}$.

Также при решении можно обойтись без замены, решив совокупность двух уравнений:

${\displaystyle f(x)={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4\cdot a\cdot c}}}{2a}}}$ и

${\displaystyle f(x)={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4\cdot a\cdot c}}}{2a}}}$

Если ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$, то уравнение принимает вид:

${\displaystyle ax^{4}+bx^{2}+c=0}$

Такое уравнение называется биквадратным^[3][1].

С помощью замены

${\displaystyle y=x+{\dfrac {k}{x}}}$

к квадратному уравнению сводится уравнение

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+kbx+k^{2}a=0,}$

известное как возвратное или обобщённо-симметрическое уравнение^[1].

Дифференциальные

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка

${\displaystyle y''+py'+qy=0}$

подстановкой ${\displaystyle y=e^{kx}}$ сводится к характеристическому квадратному уравнению:

${\displaystyle k^{2}+pk+q=0}$

Если решения этого уравнения ${\displaystyle k_{1}}$ и ${\displaystyle k_{2}}$ не равны друг другу, то общее решение имеет вид:

${\displaystyle y=Ae^{k_{1}x}+Be^{k_{2}x}}$, где ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ — произвольные постоянные.

Для комплексных корней ${\displaystyle k_{1,2}=k_{r}\pm k_{i}i}$ можно переписать общее решение, используя формулу Эйлера:

${\displaystyle y=e^{k_{r}x}\left(A\cos {k_{i}x}+B\sin {k_{i}x}\right)=Ae^{k_{r}x}\cos(k_{i}x+\varphi )}$

Если решения характеристического уравнения совпадают ${\displaystyle k_{1}=k_{2}=k}$, общее решение записывается в виде:

${\displaystyle y=Axe^{kx}+Be^{kx}}$

Уравнения такого типа часто встречаются в самых разнообразных задачах математики и физики, например, в теории колебаний или теории цепей переменного тока.

Примечания

Литература

• Квадратное уравнение; Квадратный трёхчлен // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — С. 133-136. — 352 с.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Quadratic Equation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Вывод формулы корней полного квадратного уравнения. Решение приведённых квадратных уравнений и уравнений с чётным вторым коэффициентом / Фестиваль педагогических идей «Открытый урок».
• Калькулятор квадратного уравнения.