Одним из наиболее мощных средств решения дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так, особенно, в частных производных, является метод интегральных преобразований. Преобразования Фурье, Лапласа, Ганкеля и другие применяются для решения задач теории упругости, теплопроводности, электродинамики и других разделов математической физики. Использование интегральных преобразований позволяет свести дифференциальное, интегральное или интегро-дифференциальное уравнение к алгебраическому, а также, в случае дифференциального уравнения в частных производных, уменьшить размерность.
Интегральные преобразования задаются формулой
где функции называются оригиналом и изображением соответственно, и являются элементами некоторого функционального пространства , при этом функция называется ядром интегрального преобразования.
Большинство интегральных преобразований являются обратимыми, то есть по известному изображению можно восстановить оригинал, зачастую также интегральным преобразованием:
Хотя свойства интегральных преобразований достаточно обширны, у них довольно много общего. Например, каждое интегральное преобразование является линейным оператором.
Содержание |
Если интегральное преобразовании и его обращение заданы формулами
то:
| Преобразование | Обозначение | t1 | t2 | u1 | u2 | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Преобразование Фурье | |||||||
| Синус-преобразование Фурье (англ.)русск. | |||||||
| Косинус-преобразование Фурье (англ.)русск. | |||||||
| Преобразование Хартли (англ.)русск. | |||||||
| Преобразование Меллина (англ.)русск. | |||||||
| Двустороннее преобразование Лапласа (англ.)русск. | |||||||
| Преобразование Лапласа | |||||||
| Преобразование Вейерштрасса (англ.)русск. | |||||||
| Преобразование Ханкеля | |||||||
| Интегральное преобразование Абеля | |||||||
| Преобразование Гильберта | |||||||
| Ядро Пуассона (англ.)русск. | |||||||
| Идентичное преобразование |
Интегральные преобразования.