Математическая логика

Отношение на множестве называется стабильным относительно -арной операции , определённой на этом множестве, если для любых элементов , , множества из истинности отношений

, ,

вытекает истинность отношения

.

Отношение называется стабильным на алгебраической системе , если оно стабильно относительно каждой главной операции системы . Конгруэнцией называется стабильное отношение эквивалентности на алгебраической системе. Заметим, что при таком определении понятие конгруэнции не зависит от основных отношений системы .

Рассмотрим алгебраическую систему язык которой не содержит предикатов. Через обозначим фактор-множество множества по отношению эквивалентности , через  — смежный класс элемента . На множестве естественным образом интерпретируются функциональные и константные символы языка (соответствующую алгебраическую систему обозначим ):

Отображение , определяемое правилом , называется каноническим эпиморфизмом.

Обозначим символом множество всех конгруэнций на алгебраической системе . На этом множестве определено отношение включения:

.

Относительно этого включения множество образует полную решётку.

Имеет место следующая теорема.

Теорема Ремака. Пусть  — алгебраическая система (без предикатов), , тогда вкладывается в прямое произведение .

Линейная алгебра

В линейной алгебре две вещественные (комплексные) матрицы и называются конгруэнтными, если существует невырожденная матрица такая, что .

Литература

• А. И. Мальцев, Алгебраические системы, М.: Наука, 1970.
• А. И. Мальцев, Основы линейной алгебры, М.: Наука, 1975.

См. также

• Алгебра