Матрицы Паули

Ма́трицы Па́ули — это набор из трёх эрмитовых 2×2 матриц, составляющий базис в пространстве всех эрмитовых 2×2 матриц с нулевым следом. Были предложены Вольфгангом Паули для описания спина электрона в квантовой механике. Матрицы имеют вид

$\sigma_1 = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix},$

$\sigma_2 = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix},$

$\sigma_3 = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}.$

Вместо иногда используют обозначение

Часто также употребляют матрицу

$\sigma_0 = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix},$

совпадающую с единичной матрицей.

Матрицы Паули вместе с матрицей образуют базис в пространстве всех эрмитовых матриц 2×2 (а не только матриц с нулевым следом).

Содержание

1 Свойства
- 1.1 Основные соотношения
- 1.2 Связь с алгебрами Ли
2 Применение в физике
3 Примечания
4 Литература

Свойства

Основные соотношения

Эрмитовость:
Равенство нулю следа:
где — единичная матрица размерности 2×2.
Определитель матриц Паули равен −1.
Алгебра, порождённая элементами , изоморфна алгебре кватернионов .

Правила умножения матриц Паули

для

Эти правила умножения можно переписать в компактной форме

где — символ Кронекера, а ε_ijk — символ Леви-Чивиты.

Из этих правил умножения следуют коммутационные соотношения

$\begin{matrix} [\sigma_i, \sigma_j] &=& 2 i\,\varepsilon_{i j k}\,\sigma_k, \\ \{\sigma_i, \sigma_j\} &=& 2 \delta_{i j} \cdot \sigma_0. \end{matrix}$

Квадратные скобки означают коммутатор, фигурные — антикоммутатор.

Связь с алгебрами Ли

Коммутационные соотношения матриц совпадают с коммутационными соотношениями генераторов алгебры Ли su(2). И действительно, вся эта алгебра, состоящая из антиэрмитовых матриц 2×2, может быть построена из произвольных линейных комбинаций матриц Группа SU(2) с алгеброй su(2) локально изоморфна группе SO(3) вращений трёхмерного пространства; этим объясняется важность матриц Паули для физики.

Применение в физике

В квантовой механике матрицы представляют собой генераторы инфинитезимальных вращений для нерелятивистских частиц со спином ½. Элементы матрицы спинового оператора для частиц с полуцелым спином выражаются через матрицы Паули^[1] как

Вектор состояния таких частиц представляет собой двухкомпонентный спинор^[2]. Двухкомпонентные спиноры образуют пространство фундаментального представления группы SU(2).

Примечания

↑ Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. § 55. Оператор спина // Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 5-е. — М.: Физматлит, 2001. — С. 258. — 808 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0057-2
↑ Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. § 56. Спиноры // Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 5-е. — М.: Физматлит, 2001. — С. 258. — 808 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0057-2

Литература

Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5

Это заготовка статьи по физике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.

Krasorion.ru

Упаковочные материалы

Категории