Интерполяцио́нный многочле́н Лагра́нжа — многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для пар чисел , где все различны, существует единственный многочлен степени не более , для которого .
В простейшем случае () — это линейный многочлен, график которого — прямая, проходящая через две заданные точки.
Содержание |
Лагранж предложил способ вычисления таких многочленов:
где базисные полиномы определяются по формуле:
обладают следующими свойствами:
Отсюда следует, что , как линейная комбинация , может иметь степень не больше , и , Q.E.D.
Полиномы Лагранжа используются для интерполяции, а также для численного интегрирования.
Пусть для функции известны значения в некоторых точках. Тогда мы можем интерполировать эту функцию как
В частности,
Значения интегралов от не зависят от , и их можно вычислить заранее, зная последовательность .
В случае равномерного распределения узлов интерполяции выражаются через расстояние между узлами интерполяции h и начальную точку :
и, следовательно,
Подставив эти выражения в формулу базисного полинома и вынеся h за знаки перемножения в числителе и знаменателе, получим
Теперь можно ввести замену переменной
и получить полином от , который строится с использованием только целочисленной арифметики. Недостатком данного подхода является факториальная сложность числителя и знаменателя, что требует использования длинной арифметики.
Многочлен Лагранжа.