Симплекти́ческое пространство — это векторное пространство S с заданной на нём симплектической формой , то есть билинейной кососимметрической невырожденной 2-формой:
Симплектическая форма обычно обозначается . В отличие от формы скалярного произведения, для которой
для симплектической формы всегда
Содержание |
Симплектическую структуру можно ввести на любом чётномерном векторном пространстве. Можно показать, что на нечётномерном пространстве не существуют невырожденные кососимметрические 2-формы. Все симплектические пространства одинаковой размерности симплектически изоморфны. Эти факты следуют из теоремы Дарбу для симплектических пространств. Идея доказательства заключается в следующем. Рассмотрим некоторый вектор . В силу невырожденности существует такой вектор , что
Рассмотрим косоортогональное дополнение к линейной оболочке V векторов и . Можно показать, что это будет (2n-2)-мерное подпространство S, не пересекающееся c V, причём ограничение на нём невырождено. Следовательно, процесс можно продолжить по индукции. Для нечётномерного пространства процесс завершится на одномерном подпространстве, на котором заведомо вырождена, так что предположение о существовании симплектической структуры было неверным. Для чётномерного пространства мы получим базис
такой что
где — символ Кронекера. Он называется каноническим базисом или базисом Дарбу.
В каноническом базисе матрица симплектической формы примет вид
где — единичная матрица порядка n. является симплектической матрицей.
Рассмотрим подпространство и его косоортогональное дополнение . В силу невырожденности :
Кроме того,
В общем случае эти подпространства пересекаются. В зависимости от их взаимного положения выделяют 4 типа подпространств:
Множество всех лагранжевых подпространств пространства размерности 2n образует многообразие, называемое лагранжевым грассманианом . Оно диффеоморфно многообразию смежных классов унитарной группы по ортогональной подгруппе , при этом
Жизненное пространство алексей колентьев скачать, жизненное пространство германия, пространство на острове новая голландия, жизненное пространство является ключевым понятием в теории поля.
Клерфонтен (футбольный центр), Балуев, Александр Николаевич, Мошненский замок, Макферсон, Эль.