Среднее степени d (или просто среднее степенное) набора положительных вещественных чисел определяется как
При этом по непрерывности доопределяются следующие величины:
Среднее степенное является частным случаем Колмогоровского среднего.
Содержание |
Т.к. среднее степени d обобщает известные с древности (т.н. архимедовы) средние, то его часто называют средним обобщённым.
По связи с неравенствами Минковского и Гёльдера среднее степенное имеет также названия: среднее по Гёльдеру и среднее по Минковскому.
Средние степеней 0, ±1, 2 и имеют собственные имена:
(иначе говоря: средним арифметическим n чисел является их сумма, деленная на n)
(иначе говоря: средним геометрическим n чисел является корень n-ой степени из произведения этих чисел)
(иначе говоря: средним гармоническим чисел является обратная величина к среднему арифметическому их обратных)
Неравенство о средних утверждает, что для
причем равенство достигается только в случае равенства всех аргументов .
Для доказательства неравенства о средних достаточно показать, что частная производная по неотрицательна и обращается в ноль только при (например, используя неравенство Йенсена), и далее применить формулу конечных приращений.
Частным случаем неравенства о средних является неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом
где каждое из неравенств обращается в равенство только при .
Среднее степенное переведи, среднее степенное расстояние между объектами пример расчета, среднее степенное неравенство о средних.
Швеция на зимних Олимпийских играх 1924, Клаич, Филип, Файл:Map of New Mexico highlighting Lincoln County.svg, Малорад, Обсуждение:Girlfriend of Steel.