Фундированное множество — частично упорядоченное множество M такое, что в любом его непустом подмножестве есть минимальный элемент в соответствии с отношением частичного порядка R, т.е. для любого непустого подмножества S множества M существует элемент m из S, такой что для любого элемента s из S, пары (s,m) нет в отношении R:

(Некоторые авторы дополнительно требуют, чтобы отношение R было связанным отношением)

Эквивалентное определение при условии использования аксиомы выбора, состоит в том, что множество M с отношением R фундированное тогда и только тогда, когда оно не содержит бесконечно убывающих последовательностей, т.е. не существует бесконечной последовательности x₀, x₁, x₂, ... элементов из M такой, что x_n+1 R x_n для любого индекса n.

Примеры

Примеры фундированных множеств без полного порядка.

• Множество целых, с частичным порядком a < b тогда и только тогда, когда a делится на b и a ≠ b
• Множество всех конечных строк на конечном алфавите, с частичным порядком s < t тогда и только тогда, когда s строго включается как подстрока в t

См. также

• Трансфинитная индукция