В различных разделах математики ядром отображения называется некоторое множество , в некотором смысле характеризующее отличие от инъективного отображения. Конкретное определение может различаться, однако для инъективного отображения множество всегда должно быть тривиально. Если множества и обладают некоторой структурой (например, являются группами или векторными пространствами), то также должно обладать этой структурой, при этом различные формулировки основной теоремы о гомоморфизме связывают образ и фактормножество .
Содержание |
Ядром линейного отображения называется прообраз нулевого элемента пространства :
является подпространством в . Оно всегда содержит нулевой элемент пространства . Согласно основной теореме о гомоморфизме, образ изоморфен фактору пространства по ядру :
Соответственно, размерность образа пространства равна разности размерностей пространства и ядра отображения, если размерность V конечна:
а прообраз любого вектора определён с точностью до прибавления вектора из ядра:
Любую прямоугольную матрицу размера , содержащий элементы поля (в частности, вещественные числа), можно рассматривать как линейный оператор умножения векторов слева на матрицу:
Таким образом, результаты теории конечномерных линейных пространств целиком переносятся на работу с матрицами. В частности, систему линейных уравнений с неизвестными
можно рассматривать как задачу поиска прообраза вектора , а задача о решении однородной системы уравнений () сводится к поиску ядра отображения .
Пусть будет линейным отображением и:
Тогда его ядро является векторным подпространством:
Если — гомоморфизм между группами, то образует нормальную подгруппу .
Если — гомоморфизм между кольцами, то образует идеал кольца .
Это заготовка статьи по алгебре. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её. |
Ядро (алгебра).